7320. Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше 360^{\circ}
.
Решение. Докажем сначала, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше 180^{\circ}
.
Рассмотрим трёхгранный угол PABC
с вершиной P
. Обозначим линейные углы его двугранных углов при рёбрах PA
, PB
и PC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Из произвольной точки M
, лежащей внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры MA_{1}
, MB_{1}
и MC_{1}
на грани PBC
, PAC
и PAB
соответственно. Рассмотрим трёхгранный угол MA_{1}B_{1}C_{1}
с вершиной M
(полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские углы дополняют соответствующие двугранные углы до 180^{\circ}
, а так как сумма плоских углов любого трёхгранного угла меньше 360^{\circ}
, то
180^{\circ}-\alpha+180^{\circ}-\beta+180^{\circ}-\gamma\lt360^{\circ},
откуда
\alpha+\beta+\gamma\gt180^{\circ}.
Перейдём к нашей задаче. Применим доказанное утверждение для каждого из четырёх трёхгранных углов тетраэдра и сложим полученные четыре неравенства. Каждое ребро входит ровно в два трёхгранных угла тетраэдра, значит, сумма всех двугранных углов тетраэдра вдвое больше, чем 4\cdot180^{\circ}=720^{\circ}
. Отсюда следует утверждение задачи.