7378. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны, найдите угол между плоскостями AB_{1}C
и BB_{1}C
.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{7}}
.
Указание. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, соответственно перпендикулярными этим плоскостям.
Решение. Пусть M
— середина ребра BC
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на медиану B_{1}N
равнобедренного треугольника AB_{1}C
. Тогда AM
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}C
, а BH
— перпендикуляр к плоскости AB_{1}C
. Следовательно, угол \alpha
между плоскостями AB_{1}C
и BB_{1}C
равен углу между прямыми AM
и BH
.
Пусть все рёбра призмы равны 1. Из прямоугольного треугольника BB_{1}N
находим, что
BH=\frac{BB_{1}\cdot BN}{B_{1}N}=\frac{BB_{1}\cdot BN}{\sqrt{BB_{1}^{2}+BN^{2}}}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1+\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
(см. задачу 1967).
Пусть O
— центр основания ABC
, P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на B_{1}N
. Тогда угол между скрещивающимися прямыми AM
и BH
равен углу между пересекающимися прямыми AM
и OP
, т. е. острому углу при вершине O
прямоугольного треугольника AOP
с гипотенузой
AO=\frac{2}{3}AM=\frac{\sqrt{3}}{3}
и катетом
OP=\frac{1}{3}BH=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
Следовательно,
\cos\alpha=\frac{OP}{AO}=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{7}}.