7381. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите расстояние от точки A
до плоскости CB_{1}D_{1}
.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Диагональ AC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости CB_{1}D_{1}
и делится ею в отношении 2:1
, считая от точки A
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах прямая AC_{1}
перпендикулярна прямой B_{1}D_{1}
, так как ортогональная проекция A_{1}C_{1}
наклонной AC_{1}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна прямой B_{1}D_{1}
, лежащей в этой плоскости. Аналогично AC_{1}\perp B_{1}C
. Поскольку прямая AC_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости CB_{1}D_{1}
, эта прямая перпендикулярна плоскости CB_{1}D_{1}
.
Пусть O_{1}
центр грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Рассмотрим прямоугольник AA_{1}C_{1}C
. Точка O_{1}
— середина его стороны A_{1}C_{1}
, а точка M
пересечения AC_{1}
и CO_{1}
— это точка пересечения диагонали AC_{1}
с плоскостью CB_{1}D_{1}
. Из подобия треугольников AMC
и C_{1}MO_{1}
следует, что \frac{AM}{MC_{1}}=\frac{AC}{C_{1}O_{1}}=2
.
Таким образом, AM
— перпендикуляр к плоскости CB_{1}D_{1}
, причём AM=\frac{2}{3}AC_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{3}
.