7385. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние между прямыми SB
и AE
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. 2\sqrt{\frac{3}{13}}
.
Решение. Плоскость SBD
проходит через прямую SB
и прямую BD
, параллельную AE
, значит, расстояние между прямыми SB
и AE
равно расстоянию от любой точки прямой AE
до плоскости SBD
(см. задачу 7889).
Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, а M
и N
— точки пересечения диагонали CF
основания с диагоналями AE
и BD
соответственно. Тогда M
и N
— середины AE
и BD
.
Опустим перпендикуляр MH
из точки M
на медиану SN
равнобедренного треугольника BSD
. Прямая MH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и BD
плоскости BSD
, значит, MH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, искомое расстояние между прямыми SB
и AE
равно длине этого перпендикуляра.
Из прямоугольных треугольников SOC
и SON
находим, что
SO=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},
SN=\sqrt{SO^{2}+ON^{2}}=\sqrt{SO^{2}+\left(\frac{1}{2}OC\right)^{2}}=\sqrt{3+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Записав двумя способами площадь равнобедренного треугольника SMN
, получим равенство \frac{1}{2}SN\cdot MH=\frac{1}{2}MN\cdot SO
, откуда
MH=\frac{MN\cdot SO}{SN}=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=2\sqrt{\frac{3}{13}}.