7386. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние между прямыми SB
и DF
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, M
— точка пересечения диагоналей DF
и BE
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на боковое ребро SB
. Прямая MH
лежит в плоскости SBE
, перпендикулярной прямой DF
, поэтому MH\perp DF
. Следовательно, MH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SB
и DF
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MH
.
Пусть EP
— медиана равностороннего треугольника SBE
. Тогда
EP=\frac{SB\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
а так как MH\parallel EP
и M
— середина OE
, то \frac{MH}{EP}=\frac{BM}{BE}=\frac{3}{4}
. Следовательно,
MH=\frac{3}{4}EP=\frac{3}{4}\sqrt{3}.