7395. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны, найдите угол между плоскостью SAD
и плоскостью, проходящей через точку B
перпендикулярно прямой AS
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина ребра AS
. Тогда BM\perp AS
и DM\perp AS
как медианы, а значит, и высоты равносторонних треугольников SAB
и SAD
. Следовательно, плоскость BMD
, проходящая через точку B
, перпендикулярна прямой AS
.
Плоскости BMD
и SAD
пересекаются по прямой DM
, причём MS
и MB
— перпендикуляры к прямой DM
, лежащие в гранях двугранного угла, образованного плоскостями BMD
и SAD
. Значит, BMS
— линейный угол этого двугранного угла, а так как MB\perp MS
, то \angle BMS=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть \alpha
— плоскость, проходящая через точку B
перпендикулярно прямой AS
. Плоскость SAD
проходит через прямую AS
, перпендикулярную плоскости \alpha
, значит, плоскости SAD
и \alpha
перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей),т. е. угол между ними равен 90^{\circ}