7397. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между плоскостями ABC
и SCD
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть все рёбра пирамиды равны a
, O
— центр основания ABCD
, M
— середина ребра CD
. Прямая CD
пересечения плоскостей ABC
и SCD
перпендикулярна прямым SM
и OM
, лежащим в гранях двугранного угла, образованного этими плоскостями. Следовательно, OMS
— линейный угол этого двугранного угла.
Из прямоугольного треугольника OMS
находим, что
\cos\angle OMS=\frac{OM}{SM}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.