7399. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости SCD
.
Ответ. \sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Прямая AB
параллельна плоскости SCD
, так как эта прямая параллельна прямой CD
плоскости SCD
. Поэтому расстояние от точки A
до плоскости SCD
равно расстоянию от любой точки прямой AB
до этой плоскости, в частности, от середины M
ребра AB
.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на медиану SN
треугольника SCD
. Прямая CD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и MN
плоскости SMN
, поэтому прямая AC
перпендикулярна этой плоскости. Значит, CD\perp MH
, и MH
— перпендикуляр к плоскости SCD
. Следовательно, расстояние от точки M
, а значит, и от A
до плоскости SCD
равно длине отрезка MH
.
Пусть O
— центр основания ABCD
. Из прямоугольного треугольнике AOS
находим, что
SO=\sqrt{AS^{2}-AO^{2}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Записав двумя способами площадь равнобедренного треугольника SMN
, получим равенство \frac{1}{2}SN\cdot MH=\frac{1}{2}MN\cdot SO
, откуда
MH=\frac{MN\cdot SO}{SN}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.