7400. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки B
до прямой AC_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AB
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на прямую AC_{1}
. Искомое расстояние равно высоте BH
равнобедренного треугольника ABC_{1}
со сторонами AC_{1}=BC_{1}=\sqrt{2}
, AB=1
.
Из прямоугольного треугольника MCC_{1}
находим, что
C_{1}M=\sqrt{CC_{1}^{2}+CM^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Записав двумя способами площадь равнобедренного треугольника ABC_{1}
, получим равенство \frac{1}{2}AC_{1}\cdot BH=\frac{1}{2}AB\cdot C_{1}M
, откуда
BH=\frac{AB\cdot C_{1}M}{AC_{1}}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{4}.