7412. В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 12 и 4, а остальные рёбра равны 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра, равного 12.
Ответ. \frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}=\frac{3}{8}(13-\sqrt{65})
.
Указание. Если r
— радиус сферы, вписанной в пирамиду, S
— полная поверхность пирамиды, а V
— её объём, то r=\frac{3V}{S}
. Центр сферы, вписанной в двугранный угол лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Решение. Пусть ABCD
— треугольная пирамида, в которой AB=12
, CD=4
, AC=BC=AD=BD=7
. Поскольку DA=DB
, то ортогональная проекция P
вершины D
на плоскость ABC
равноудалена от точек A
и B
, поэтому точка P
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
равнобедренного треугольника ABC
.
Пусть K
— середина AB
. Тогда
DK=CK=\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}=\sqrt{49-36}=\sqrt{13}.
Если M
— середина стороны CD
равнобедренного треугольника CDK
, то KM
— высота этого треугольника, поэтому
KM=\sqrt{CK^{2}-CM^{2}}=\sqrt{13-4}=3,
а так как DP
— также высота треугольника CKD
, то
DP=\frac{CD\cdot KM}{CK}=\frac{4\cdot3}{\sqrt{13}}=\frac{12}{\sqrt{13}},~\sin\angle CKD=\frac{DP}{DK}=\frac{\frac{12}{\sqrt{13}}}{\sqrt{13}}=\frac{12}{13}.
Пусть r
— радиус сферы, вписанной в пирамиду ABCD
, S
— полная поверхность пирамиды, V
— её объём. Тогда
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CK\cdot DP=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{13}\cdot\frac{12}{\sqrt{13}}=24,
S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=2\sqrt{49-4}=2\sqrt{45}=6\sqrt{5},
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot12\cdot\sqrt{13}=6\sqrt{13}.
Следовательно,
r=\frac{3V}{S}=\frac{72}{12\sqrt{5}+12\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}.
Пусть \alpha
— угол между гранями ABD
и ABC
. Тогда
\sin\alpha=\sin\angle CKD=\frac{12}{13},~\cos\alpha=\frac{5}{13},~\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
а так как сфера вписана в двугранный угол между этими гранями, то её центр O
лежит в биссекторной плоскости двугранного угла, поэтому, если d
— расстояние от точки O
до ребра AB
, то
d=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}}{\frac{2}{\sqrt{13}}}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}.