7416. Высота правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна h
. Точка D
расположена на ребре AB
. Прямая C_{1}D
образует угол 30^{\circ}
с плоскостью AA_{1}C_{1}C
и угол \arcsin\frac{3}{4}
с плоскостью ABC
. Найдите:
а) сторону основания призмы;
б) радиус шара с центром на отрезке C_{1}D
, касающегося плоскостей ABC
и AA_{1}C_{1}C
.
Ответ. а) \frac{5h\sqrt{3}}{9}
; б) \frac{2h}{5}
.
Решение. Пусть K
— ортогональная проекция вершины D
на ребро AC
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Поскольку DC
— ортогональная проекция наклонной DC_{1}
на плоскость ABC
, угол CDC_{1}
— это угол наклонной DC
с этой плоскостью. По условию задачи \sin\angle CDC_{1}=\frac{3}{4}
. Тогда
DC_{1}=\frac{CC_{1}}{\sin\angle CDC_{1}}=\frac{h}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}h.
Поскольку C_{1}K
— ортогональная проекция наклонной DC_{1}
на плоскость ACC_{1}A_{1}
, угол DC_{1}K
— это угол наклонной DC_{1}
с этой плоскостью. По условию задачи \angle DC_{1}K=30^{\circ}
. Тогда
DK=\frac{1}{2}DC_{1}=\frac{2}{3}h,~KC_{1}=DC_{1}\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot DC_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}h.
Из прямоугольного треугольника CKC_{1}
по теореме Пифагора находим, что
KC=\sqrt{KC_{1}^{2}-CC_{1}^{2}}=\frac{h}{\sqrt{3}}.
Поэтому
AC=AK+KC=DK\tg60^{\circ}+\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{2h}{3\sqrt{3}}+\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{5h}{3\sqrt{3}}.
Пусть O
— центр шара, о котором говорится в условии задачи, r
— радиус шара, P
и Q
— точки касания шара с плоскостями ABC
и ACC_{1}A_{1}
соответственно. Из прямоугольных треугольников DPO
и OQC_{1}
находим, что
DO=\frac{OP}{\sin\angle CDC_{1}}=\frac{4}{3}r,~OC_{1}=\frac{OQ}{\sin30^{\circ}}=2r,
а так как DO+OC_{1}=DC_{1}
, то получаем уравнение \frac{4}{3}r+2r=\frac{4}{3}h
, из которого находим, что r=\frac{2}{5}h
.