7424. В пространстве рассматриваются два отрезка AB
и CD
, не лежащие в одной плоскости. Пусть M
и K
— их середины. Докажите, что MK\leqslant\frac{1}{2}(AD+BC)
.
Указание. Пусть K
— середина CD
. На продолжении отрезка BK
за точку K
отложите отрезок KP
, равный BK
.
Решение. Пусть K
— середина CD
. На продолжении отрезка BK
за точку K
отложим отрезок KP
, равный BK
. Рассмотрим плоскость ABP
. Отрезок MK
— средняя линия треугольника ABP
, поэтому MK=\frac{1}{2}AP
. Рассмотрим плоскость пересекающихся прямых BP
и CD
. Из равенства треугольников DKP
и CKB
следует, что DP=BC
. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ADP
, получим, что
AP\lt AD+DP=AD+BC.
Следовательно,
MK=\frac{1}{2}AP\lt\frac{1}{2}(AD+BC).