7428. Докажите, что сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего.
Решение. Рассмотрим трёхгранный угол PABC
с вершиной P
. Обозначим его плоские углы BPC
, APC
и APB
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть \gamma
— наибольший из них. Докажем, что \alpha+\beta\gt\gamma
. Тогда утверждение задачи будет тем более верно для остальных случаев.
Первый способ. Через вершину P
в плоскости угла APB
, проведём между сторонами этого угла луч PD
под углом \alpha
к лучу PB
. Это можно сделать, так как \alpha\lt\gamma
. На лучах PC
и PD
отложим равные отрезки PM
и PN
соответственно. Через точки M
и N
проведём плоскость, пересекающую лучи PA
и PB
соответственно в точках K
и L
.
Треугольники PLN
и PLM
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому LN=LM
. Применяя неравенство треугольника к треугольнику KLM
, получим, что KN+LN\lt KM+LM
, поэтому KN\lt KM
.
Стороны PK
и PN
треугольника KPN
соответственно равны сторонам PK
и PM
треугольника KPM
, а сторона KN
треугольника KPN
меньше стороны KM
треугольника KPM
. Поэтому \angle KPN\lt\angle KPM
(см. задачу 3606), или \beta\gt\gamma-\alpha
. Следовательно, \alpha+\beta\gt\gamma
.
Второй способ. Пусть двугранный угол при ребре PA
равен \varphi
. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos\varphi=\frac{\cos\alpha-\cos\gamma\cos\beta}{\sin\gamma\sin\beta},
а так как \cos\varphi\lt1
и \sin\gamma\sin\beta\gt0
, то
\frac{\cos\alpha-\cos\gamma\cos\beta}{\sin\gamma\sin\beta}\lt1~\Rightarrow~\cos\alpha-\cos\gamma\cos\beta\lt\sin\gamma\sin\beta~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\cos\alpha\lt\cos\gamma\cos\beta+\sin\gamma\sin\beta=\cos(\gamma-\beta).
При этом 0^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ}
и 0^{\circ}\lt\gamma-\beta\lt180^{\circ}
, поэтому \alpha\gt\gamma-\beta
(на промежутке (0;180^{\circ})
косинус убывает). Следовательно, \gamma\lt\alpha+\beta
.