7429. Докажите, что каждый плоский угол выпуклого четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных.
Указание. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Решение. Пусть PABCD
— выпуклый четырёхгранный угол PABCD
с вершиной P
. Рассмотрим трёхгранные углы PABD
и PBCD
с общей вершиной P
. Поскольку каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов,
\angle APB\lt\angle APD+\angle BPD,~\angle BPD\lt\angle CPD+\angle BPC.
Следовательно,
\angle APB\lt\angle APD+\angle CPD+\angle BPC.