7435. В тетраэдре ABCD
все плоские углы при вершине A
равны по 60^{\circ}
. Докажите, что AB+AC+AD\leqslant BC+CD+DB
.
Решение. Пусть угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Если стороны AB
и AC
не равны, рассмотрим образы B_{1}
и C_{1}
точек B
и C
при симметрии относительно биссектрисы угла при вершине A
. В четырёхугольнике BC_{1}CB_{1}
CC_{1}+BB_{1}\lt BC+B_{1}C_{1},
а так как CC_{1}=AC
, BB_{1}=AB
и B_{1}C_{1}=BC
, то
AC+AB\lt BC+BC=2BC.
Если AB=AC
, то треугольник ABC
— равносторонний, поэтому
AC+AB=2BC.
Таким образом, если угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, то AC+AB\leqslant2BC
. Аналогично, AC+AD\leqslant2CD
и AB+AD\leqslant2BD
. Сложив почленно эти три неравенства получим, что
AB+AC+AD\leqslant BC+CD+DB.