7441. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.
Ответ. 4.
Указание. Обозначьте через x
сторону основания параллелепипеда, выразите через x
объём параллелепипеда и найдите наибольшее значение полученной функции на соответствующем промежутке.
Решение. Обозначим через x
сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно \frac{1}{2}(6-2x)=3-x
. Если V(x)
— объём параллелепипеда, то
V(x)=x^{2}(3-x),
значит, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(x)=x^{2}(3-x)
на интервале (0;3)
.
Первый способ. Найдём критические точки функции V(x)=x^{2}(3-x)
на интервале (0;3)
. Для этого решим уравнение
V'(x)=(3x^{2}-x^{3})'=6x-3x^{2}=3x(2-x)=0.
Интервалу (0;3)
принадлежит единственный корень этого уравнения x=2
. На этом интервале при x\lt2
производная функции V(x)
положительна, а при x\gt2
— отрицательна, поэтому на промежутке (0;2)
функция V(x)
возрастает, а на промежутке (2;3)
— убывает. Значит, x=2
— точка максимума функции. Следовательно, V(2)=4
— наибольшее значение объёма параллелепипеда.
Второй способ. Применяя неравенство Коши для трёх чисел (см. примечание к задаче 3399), получим, что
V(x)=x^{2}(3-x)=4\cdot\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2}x\cdot(3-x)\leqslant
\leqslant4\cdot\left(\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+(3-x)}{3}\right)^{3}=4,
причём равенство достигается, если \frac{1}{2}x=3-x
, т. е. при x=2
. Следовательно, наибольшее значение объёма параллелепипеда равно 4.