7442. В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса r
, центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а второй — основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.
Ответ. (6+2\sqrt{3})r
.
Указание. Обозначьте через x
высоту пирамиды, выразите через x
объём пирамиды и найдите наименьшее значение полученной функции на соответствующем промежутке.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
; M
и N
— середины сторон соответственно AD
и BC
основания ABCD
. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, M
и N
, — равнобедренный треугольник PMN
, основание MN
которого равно стороне квадрата ABCD
. Центры O_{1}
и O_{2}
касающихся окружностей радиуса r
расположены на высоте PQ
. Окружность с центром O_{1}
вписана в угол MPN
, а окружность с центром O_{2}
касается основания MN
в его середине Q
.
Пусть сторона квадрата ABCD
равна a
, высота пирамиды равна x
, а окружность с центром O
касается PN
в точке F
. Из подобия прямоугольных треугольников PFO_{1}
и PQN
следует, что
\frac{PO_{1}}{PN}=\frac{O_{1}F}{QN},~\mbox{или}~\frac{x-3r}{\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}=\frac{2r}{a}.
Из этого уравнения находим, что
a^{2}=\frac{4r^{2}x^{2}}{x^{2}-6rx+8r^{2}}.
Если V(x)
— объём пирамиды PABCD
, то
V(x)=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PQ=\frac{1}{3}a^{2}x=\frac{1}{3}\cdot\frac{4r^{2}x^{3}}{x^{2}-6rx+8r^{2}}.
Поскольку x\gt4r
, задача сводится к нахождению на промежутке (4r;+\infty)
такого значения x
, для которого функция V(x)
принимает на этом промежутке наименьшее значение. Решив уравнение V'(x)=0
, найдём критические точки функции V(x)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (4r;+\infty)
.
V'(x)=\frac{4}{3}r\cdot\frac{3x^{2}(x^{2}-6rx+8r^{2})-x^{3}(2x-6r)}{(x^{2}-6rx+8r^{2})^{2}}=
=\frac{4}{3}r\cdot\frac{x^{2}(3x^{2}-18rx+24r^{2}-2x^{2}+6rx)}{(x^{2}-6rx+8r^{2})^{2}}=\frac{4}{3}r\cdot\frac{x^{2}(x^{2}-12rx+24r^{2})}{(x^{2}-6rx+8r^{2})^{2}}=0.
Промежутку (4r;+\infty)
принадлежит единственный корень этого уравнения x=(6+2\sqrt{3})r
. При переходе через точку x=(6+2\sqrt{3})r
производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (4r;(6+2\sqrt{3})r)
функция V(x)
убывает, а на промежутке ((6+2\sqrt{3})r;+\infty)
— возрастает. Следовательно, при x=(6+2\sqrt{3})r
объём пирамиды PABCD
— наименьший.