7445. Сторона основания ABC
правильной пирамиды PABC
равна a
, боковое ребро равно b
. На каком расстоянии от прямой BC
следует провести сечение пирамиды, параллельное рёбрам BC
и PA
, чтобы площадь его была наибольшей из возможных?
Ответ. \frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{4b}
.
Указание. Данное сечение — прямоугольник. Пусть K
— точка пересечения секущей плоскостью с ребром AB
. Обозначьте \frac{BK}{AB}=x
, выразите через x
стороны прямоугольника сечения и найдите x
, при котором площадь прямоугольника максимальна.
Решение. Пусть секущая плоскость пересекает ребро AB
в точке K
. Плоскость ABC
проходит через прямую BC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, параллельной BC
и проходящей через точку K
. Если прямая l
пересекает ребро AC
в точке N
, то KN\parallel BC
. Аналогично, секущая плоскость пересекает плоскость грани ABP
по прямой, параллельной AP
, плоскость грани BPC
— по прямой, параллельной BC
, плоскость грани APC
— по прямой, параллельной AP
.
Пусть L
, M
и N
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами BP
, PC
и AC
соответственно. Тогда KLMN
— параллелограмм, а так как пирамида PABC
правильная, то AP\perp BC
, поэтому KLMN
— прямоугольник.
Обозначим \frac{BK}{AK}=x
(0\leqslant x\leqslant1)
. Тогда
MN=KL=x\cdot AP=bx,
LM=KN=BC\cdot\frac{AK}{AB}=(1-x)BC=a(1-x),
поэтому
S_{KLMN}=KL\cdot KN=ab\cdot x(1-x)=ab\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+x-x^{2}\right)=
=ab\left(\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}\right)\leqslant\frac{1}{4}ab,
причём равенство достигается в случае, когда x=\frac{1}{2}
.
Пусть Q
— середина BC
, а отрезки PQ
и AQ
пересекают LM
и KN
в точках E
и F
соответственно. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APQ
. Поскольку
\frac{PE}{EQ}=\frac{AF}{FQ}=\frac{AK}{KB}=\frac{1}{2},
отрезок EF
— средняя линия треугольника APQ
. Значит, искомое расстояние d
равно половине высоты QH
треугольника APQ
. Если O
— центр равностороннего треугольника ABC
, то
AO=\frac{2}{3}AQ=\frac{a\sqrt{3}}{3},~OP=\sqrt{AP^{2}-AO^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}},
а так как AQ\cdot OP=AP\cdot QH
, то
QH=\frac{AQ\cdot OP}{AP}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}}}{b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{b}.
Следовательно,
d=\frac{1}{2}QH=\frac{1}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{b}.