7446. Ребро AB
тетраэдра ABCD
является диагональю основания четырёхугольной пирамиды, ребро CD
параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых рёбрах пирамиды. Найдите наименьший возможный объём пирамиды, если объём тетраэдра равен V
.
Ответ. 4V
.
Указание. Объём тетраэдра равен \frac{1}{6}abc\sin\alpha
, где a
и b
— противоположные рёбра, c
и \alpha
— расстояние и угол между ними.
Решение. Пусть AMBK
— основание данной четырёхугольной пирамиды PAMBK
, \alpha
— угол между диагоналями AB
и MK
, h
— высота пирамиды PAMBK
. Обозначим \frac{PC}{PK}=\frac{PD}{PM}=x
. Тогда расстояние d
между прямыми AB
и CD
равно (1-x)h
, а так как угол между ними равен \alpha
, то
V=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\sin\alpha,
откуда находим, что AB\cdot CD\cdot d\sin\alpha=6V
. Далее имеем:
V_{PAMBK}=\frac{1}{3}S_{AMBK}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot KM\sin\alpha\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot\frac{CD}{x}\cdot\sin\alpha\cdot\frac{d}{1-x}=\frac{\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\cdot\sin\alpha}{x(1-x)}=
=\frac{V}{x(1-x)}=\frac{V}{x-x^{2}}=\frac{V}{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+x-x^{2}}=\frac{V}{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}\geqslant4V,
причём равенство достигается, когда x=\frac{1}{2}
, т. е. когда C
— середина ребра PK
.