7450. Периметр равнобедренного треугольника равен P
. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?
Ответ. \frac{1}{4}P
, \frac{3}{8}P
, \frac{3}{8}P
.
Решение. Пусть ABC
— равнобедренный треугольник с основанием BC
. Фигура, полученная вращением этого треугольника вокруг основания BC
, есть объединение двух равных конусов, образующая каждого из которых равна боковой стороне треугольника ABC
, а радиус основания — высоте AK
этого треугольника.
Пусть AC=x
. Тогда
BC=P-2x,~CK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}P-x,
AK^{2}=AC^{2}-CK^{2}=x^{2}-\left(\frac{1}{2}P-x\right)^{2}=Px-\frac{1}{4}P^{2}.
Запишем объём полученной фигуры вращения как функцию от x
на интервале \left(\frac{1}{4}P;\frac{1}{2}P\right)
.
V(x)=2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot AK^{2}\cdot CK=\frac{2}{3}\pi\left(Px-\frac{1}{4}P^{2}\right)\left(\frac{1}{2}P-x\right)=
=\frac{2}{3}\pi P\left(x-\frac{1}{4}P\right)\left(\frac{1}{2}P-x\right)\leqslant\frac{2}{3}\pi P\left(\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}P+\frac{1}{2}P-x\right)\right)^{2}=
=\frac{2}{3}\pi P\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}P\right)^{2}=\frac{\pi P^{3}}{96},
причём равенство достигается, если x-\frac{1}{4}P=\frac{1}{2}P-x
, т. е. при x=\frac{3}{8}P
. В этом случае BC=P-2x=\frac{1}{4}P
.