7452. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V
, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30^{\circ}
. Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что одно из боковых рёбер лежит на диагонали основания пирамиды, одна из боковых граней параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковых гранях пирамиды. Найдите:
а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 2:3
, считая от вершины;
б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.
Ответ. а) \frac{9}{125}V
;
б) \frac{1}{12}V
.
Решение. а) Обозначим через a
сторону основания ABCD
данной правильной пирамиды PABCD
. Пусть плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через точку Q
, лежащую на высоте PO
пирамиды, делит высоту в данном отношении \frac{PQ}{QO}=\frac{2}{3}
. Тогда в сечении пирамиды этой плоскостью получится квадрат A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
со стороной \frac{2}{5}a
(точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
лежат на отрезках PA
, PB
, PC
, PD
соответственно).
Пусть боковое ребро KK_{1}
правильной призмы KLMK_{1}L_{1}M_{1}
лежит на диагонали AC
квадрата ABCD
. Тогда вершины противоположной боковой грани LMM_{1}L_{1}
призмы лежат на сторонах соответственно A_{1}D_{1}
, A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
, C_{1}D_{1}
квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что
PO=AO\tg\angle OAP=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\tg30^{\circ}=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}.
Тогда, если KF
— высота равностороннего треугольника KLM
, то
KF=OQ=\frac{3}{5}PO=\frac{3}{5}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{10}.
Пусть b
— сторона основания призмы. Тогда KF=\frac{b\sqrt{3}}{2}
. Из уравнения \frac{b\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{10}
находим, что b=\frac{a\sqrt{2}}{5}
.
Обозначим LL_{1}=MM_{1}=KK_{1}=h
. Поскольку прямоугольник LMM_{1}L_{1}
вписан в квадрат A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, причём его стороны параллельны диагоналям квадрата, периметр прямоугольника равен сумме диагоналей квадрата, т. е. 2h+2b=2\cdot\frac{2}{5}a\sqrt{2}
. Значит,
h=\frac{2}{5}a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{5}.
Поэтому
V_{KLMK_{1}L_{1}M_{1}}=S_{\triangle KLM}\cdot KK_{1}=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{2a^{2}}{25}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{5}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{250}.
Выразим найденный объём через объём V
данной пирамиды:
V=V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot OP=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{18}.
Следовательно,
V_{KLMK_{1}L_{1}M_{1}}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{250}=\frac{18V}{250}=\frac{9}{125}V.
б) Пусть теперь \frac{PQ}{PO}=x
(0\lt x\lt1
). Тогда
A_{1}B_{1}=ax,~KF=OQ=(1-x)PO=\frac{(1-x)a\sqrt{6}}{6},~b=LM=\frac{(1-x)a\sqrt{2}}{3}.
Из уравнения h+\frac{(1-x)a\sqrt{2}}{3}=ax\sqrt{2}
находим, что
KK_{1}=LL_{1}=h=ax\sqrt{2}-\frac{a(1-x)\sqrt{2}}{3}=ax\sqrt{2}=\frac{a(4x-1)\sqrt{2}}{3}.
Тогда
V_{KLMK_{1}L_{1}M_{1}}=V(x)=S_{\triangle KLM}\cdot KK_{1}=
=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{(1-x)^{2}a^{2}\sqrt{3}}{18}\cdot\frac{a(4x-1)\sqrt{2}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{54}(1-x)^{2}(4x-1).
Осталось найти наибольшее значение функции V(x)
на промежутке \left(\frac{1}{4};1\right)
.
Первый способ. Решив уравнение V'(x)=0
, найдём критические точки функции V(x)
:
V'(x)=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{54}((1-x)^{2}(4x-1))'=
=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{54}(-2(1-x)(4x-1)+4(1-x)^{2})=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{27}(x-1)(6x-3)=0.
Промежутку \left(\frac{1}{2};1\right)
принадлежит корень x=\frac{1}{2}
. При переходе через точку \frac{1}{2}
производная V'(x)
меняет знак с плюса на минус. На промежутке \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)
функция V(x)
возрастает, а на промежутке \left(\frac{1}{2};1\right)
— убывает. Значит, в точке x=\frac{1}{2}
функция достигает наибольшего значения на промежутке \left(\frac{1}{4};1\right)
. Следовательно,
V_{\max}=V\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{54}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}\left(4\cdot\frac{1}{2}-1\right)=\frac{1}{12}V.
Второй способ. Применив неравенство Коши для трёх чисел (см. примечание к задаче 3399), получим, что
V(x)=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{54}(1-x)^{2}(4x-1)=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{27}(1-x)^{2}\left(2x-\frac{1}{2}\right)\leqslant
\leqslant\frac{a^{3}\sqrt{6}}{27}\left(\frac{(1-x)+(1-x)+\left(2x-\frac{1}{2}\right)}{3}\right)^{3}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{27}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{12}V,
причём равенство достигается, если 1-x=2x-\frac{1}{2}
, т. е. при x=\frac{1}{2}
. Это значение x
принадлежит рассматриваемому промежутку \left(\frac{1}{4};1\right)
.