7455. Найдите наибольший возможный угол между плоскостью боковой грани и не принадлежащим ей боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды.
Ответ. \arcsin(2(\sqrt{2}-1))
.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
. Обозначим AB=a
, PQ=h
, где Q
— основание высоты пирамиды. Найдём наибольший возможный угол между боковым ребром AP
и плоскостью боковой грани CPD
.
Пусть A_{1}
— ортогональная проекция точки A
на плоскость грани CPD
, \varphi
— угол между прямой AP
и плоскостью этой грани, M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, MK
— высота треугольника MPN
.
Заметим, что прямая MK
перпендикулярна плоскости грани CPD
, а так как ребро AB
параллельно этой плоскости, то AA_{1}=MK
.
Из прямоугольных треугольников APQ
и MPQ
находим, что
AP=\sqrt{PQ^{2}+AQ^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{2}},~PM=\sqrt{PQ^{2}+MQ^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
В равнобедренном треугольнике PMN
известно, что PN=PM
и MN\cdot PQ=PN\cdot MK
. Отсюда находим, что
MK=\frac{MN\cdot PQ}{PN}=\frac{ah}{\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}.
Тогда
\sin\varphi=\frac{AA_{1}}{AP}=\frac{MK}{AP}=\frac{\frac{ah}{\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}}{\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{2}}}=\frac{ah}{\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}\cdot\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{2}}}=
=\frac{1}{\sqrt{\frac{h}{a}+\frac{a}{4h}}\cdot\sqrt{\frac{h}{a}+\frac{a}{2h}}}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{h}{a}\right)^{2}+\frac{1}{8}\left(\frac{a}{h}\right)^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}
Поскольку среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического,
\left(\frac{h}{a}\right)^{2}+\frac{1}{8}\left(\frac{a}{h}\right)^{2}\geqslant2\sqrt{\frac{h}{a}\cdot\frac{1}{8}\frac{a}{h}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
причём равенство достигается, если \frac{h}{a}=\frac{1}{8}\frac{a}{h}
, т. е. при \frac{h}{a}=\frac{1}{2\sqrt{2}}
. Следовательно,
\sin\varphi\geqslant\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}=\frac{2}{\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}=2(\sqrt{2}-1)\lt1,
причём равенство достигается, если \varphi=\arcsin(2(\sqrt{2}-1))
.