7466. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB_{1}
и DC_{1}
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Тогда DO\parallel BC\parallel B_{1}C_{1}
и DO=B_{1}C_{1}
, значит, четырёхугольник DOB_{1}C_{1}
— параллелограмм, поэтому OB_{1}\parallel DC_{1}
. Следовательно, угол между прямыми AB_{1}
и DC_{1}
равен углу между прямыми OB_{1}
и AB_{1}
, т. е. углу AB_{1}O
.
Пусть сторона основания призмы равна a
. По теореме косинусов из равнобедренного треугольника AB_{1}O
находим, что
\cos\angle AB_{1}O=\frac{AB_{1}^{2}+OB_{1}^{2}-AO^{2}}{2AB_{1}\cdot OB_{1}}=\frac{(a\sqrt{2})^{2}+(a\sqrt{2})^{2}-a^{2}}{2a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2+2-1}{2\cdot2}=\frac{3}{4}.