7474. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки B
до прямой A_{1}F_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{7}}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, K
— точка пересечения AC
и BE
. Поскольку BE\parallel AF\parallel A_{1}F_{1}
, расстояние от точки B
до прямой A_{1}F_{1}
равно расстоянию до этой прямой от любой точки прямой BE
, в частности, от точки K
— середины отрезка BO
. По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}K\perp BE
, значит, A_{1}K\perp A_{1}F_{1}
. Следовательно, расстояние от точки K
до прямой A_{1}F_{1}
равно длине отрезка A_{1}K
.
Из равностороннего треугольника OAB
находим, что AK=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
A_{1}K=\sqrt{AA_{1}^{2}+AK^{2}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
