7493. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до прямой SC
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. \frac{\sqrt{39}}{4}
.
Решение. Пусть SM
— высота равнобедренного треугольника ASC
со сторонами SA=SC=2
, AC=\sqrt{3}
. По теореме Пифагора
SM=\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{4-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Расстояние от точки A
до прямой SC
равно высоте AH
треугольника ASC
. Записав двумя способами площадь этого треугольника, получим равенство \frac{1}{2}SC\cdot AH=\frac{1}{2}AC\cdot SM
, откуда находим, что
AH=\frac{AC\cdot SM}{SC}=\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{39}}{4}.
