7508. В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны \alpha
, помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{2r\cos\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}
.
Указание. Пусть сфера с центром O
касается рёбер трёхгранного угла с вершиной P
в точках A
, B
и C
. Рассмотрите правильную треугольную пирамиду PABC
с вершиной P
.
Решение. Пусть сфера с центром O
и радиусом R
касается рёбер трёхгранного угла с вершиной P
в точках A
, B
и C
, а окружность радиуса r
касается прямых AP
и BP
в точках A
и B
соответственно. Тогда
a=AB=2r\cos\frac{\alpha}{2}.
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду PABC
с вершиной P
. Пусть PM
— её высота, AB=BC=AC=a
. Обозначим через \varphi
угол между высотой PM
и боковым ребром. Тогда
AP=\frac{\frac{1}{2}a}{\sin\frac{\alpha}{2}},~AM=\frac{1}{3}a\sqrt{3},~\sin\varphi=\frac{AM}{AP}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{\alpha}{2},
\tg\varphi=\frac{\sin\varphi}{\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}.
Пусть O_{1}
— центр окружности, вписанной в угол APB
. Тогда O_{1}A\perp AP
, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах OA\perp AP
. Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что
R=AO=AP\tg\varphi=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}=\frac{2r\cos\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}.