7512. В правильной пирамиде PABC
сторона основания ABC
равна a
, боковое ребро — 2a
. Точки P
, B
и C
лежат на боковой поверхности конуса, имеющего вершину в точке A
. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. 2\arcsin\frac{3}{2\sqrt{5}}
.
Указание. На продолжении рёбер AB
и AC
за точки B
и C
отложите отрезки, равные a
.
Решение. На продолжении рёбер AB
и AC
за точки B
и C
отложим отрезки соответственно BM
и CN
, равные a
. Тогда AP=AM=AN=2a
, поэтому точки P
, M
и N
лежат на окружности основания конуса с вершиной A
и образующей 2a
. Окружность основания этого конуса описана около треугольника MNP
. Пусть r
— её радиус. Обозначим PM=PN=x
. В треугольнике APM
по формуле для медианы (см. задачу 4014)
4PB^{2}=2PA^{2}+2PM^{2}-AM^{2},~\mbox{или}~16a^{2}=8a^{2}+2x^{2}-4a^{2},
откуда x=a\sqrt{6}
. Поскольку BC
— средняя линия треугольника, MN=2BC=2a
. Если PK
— высота равнобедренного треугольника MPN
, то
PK=\sqrt{PM^{2}-MK^{2}}=\sqrt{6a^{2}-a^{2}}=a\sqrt{5},
\sin\angle PMN=\frac{PK}{PM}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.
Поэтому
r=\frac{PN}{2\sin\angle PMN}=\frac{a\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}}=\frac{3a}{\sqrt{5}}.
Пусть AO
— высота конуса, \alpha
— угол при вершине осевого сечения. Тогда
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{OM}{AM}=\frac{r}{2a}=\frac{\frac{3a}{\sqrt{5}}}{2a}=\frac{3}{2\sqrt{5}}.
Примечание. Радиус описанной окружности треугольника MNP
можно найти по-другому. Пусть PK
— высота равнобедренного треугольника PMN
. Тогда
PK=\sqrt{6a^{2}-a^{2}}=a\sqrt{5}.
Продолжим высоту PK
за точку K
до пересечения с окружностью в точке P_{1}
. Тогда MK
— высота прямоугольного треугольника PMP_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
MK^{2}=PK\cdot KP_{1},~\mbox{или}~a^{2}=a\sqrt{5}(2r-a\sqrt{5}),
откуда r=\frac{3a}{\sqrt{5}}
.