7513. Все вершины правильной пирамиды PABCD
с вершиной P
лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости PAB
. Найдите радиус основания цилиндра, если AB=a
.
Ответ. \frac{a}{\sqrt{3}}
.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию данных пирамиды и цилиндра на плоскость грани ABP
.
Решение. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна плоскости грани ABP
, ортогональная проекция цилиндра на плоскость грани ABP
есть окружность, радиус которой равен радиусу основания цилиндра. На этой окружности лежат точки A
, B
и P
, а также ортогональные проекции C_{1}
и D_{1}
вершин C
и D
пирамиды PABCD
, а так как CD
параллельно плоскости ABP
, то C_{1}D_{1}=CD=AB
и C_{1}D_{1}\parallel CD\parallel AB
, значит ABC_{1}D_{1}
— прямоугольник. Его центр O_{1}
совпадает с центром окружности. Поэтому O_{1}A=O_{1}B=O_{1}P
. С другой стороны, точка O_{1}
— ортогональная проекция центра O
квадрата ABCD
, поэтому O_{1}A
, O_{1}B
и O_{1}P
— ортогональные проекции отрезков OA
, OB
и OP
на плоскость ABP
, значит, OP=OA=OB=\frac{a}{\sqrt{2}}
. Следовательно, AP=BP=AB=a
, а радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной a
, равен \frac{a}{\sqrt{3}}
.