7516. Высота цилиндра равна 3r
. Внутри цилиндра расположены три сферы радиуса r
, причём каждая сфера касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилиндра, а третья сфера — верхнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
Ответ. \frac{r(3\sqrt{2}+4)}{4}
.
Указание. Расстояние от центра сферы, касающейся верхнего основания цилиндра, до плоскости, проходящей через центры двух других данных сфер перпендикулярно оси цилиндра, равно r
. Рассмотрите ортогональную проекцию цилиндра и сфер на эту плоскость.
Решение. Пусть R
— радиус основания цилиндра, h
— его высота, O_{1}
— центр сферы, касающейся верхнего основания цилиндра, O_{2}
и O_{3}
— центры сфер, касающихся нижнего основания (рис. 1). Опустим перпендикуляр O_{1}P
на плоскость, проходящую через точки O_{2}
и O_{3}
перпендикулярно оси цилиндра. В треугольной пирамиде O_{1}O_{2}O_{3}P
известно, что
O_{1}O_{2}=O_{2}O_{3}=O_{1}O_{3}=2r,~O_{1}P=h-2r=3r-2r=r,
O_{3}P=O_{2}P=\sqrt{O_{2}O_{1}^{2}-O_{1}P^{2}}=\sqrt{4r^{2}-r^{2}}=r\sqrt{3}.
Пусть A
, B
и C
— ортогональные проекции точек O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
на плоскость основания цилиндра, O
— центр этого основания (рис. 2). Тогда
OA=OB=OC=R-r,
BC=2r,AB=O_{2}P=r\sqrt{3},~AC=O_{3}P=r\sqrt{3}.
Если M
— середина BC
то
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{3r^{2}-r^{2}}=r\sqrt{2},~\sin\angle ABC=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},
а так как OA
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, то
R-r=OA=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{r\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{3r\sqrt{2}}{4}.
Следовательно,
R=r+\frac{3r\sqrt{2}}{4}=\frac{r(3\sqrt{2}+4)}{4}.
