7517. В правильной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
каждое ребро равно a
. Вершины A
и A_{1}
лежат на боковой поверхности цилиндра, плоскость BCC_{1}
касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна прямой B_{1}C
. Найдите радиус основания цилиндра.
Ответ. \frac{7a\sqrt{3}}{24}
.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию данных призмы и цилиндра на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра.
Решение. Пусть R
— искомый радиус. Рассмотрим ортогональную проекцию данной призмы на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра (рис. 1). Пусть точки M
и N
— проекции вершин A
и A_{1}
. Прямая AA_{1}
параллельна прямой BB_{1}
, а прямая BB_{1}
образует с плоскостью проекций угол 45^{\circ}
(так как она образует угол 45^{\circ}
с осью цилиндра), значит,
MN=AA_{1}\cos45^{\circ}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
причём MN
— хорда окружности радиуса R
. Ортогональная проекция l
прямой BC_{1}
на указанную плоскость — касательная к окружности, параллельная хорде MN
(прямая AA_{1}
параллельна плоскости BB_{1}C_{1}C
, содержащей прямую BC_{1}
, а плоскость BB_{1}C_{1}C
перпендикулярна плоскости проекций). Расстояние между прямыми MN
и l
равно расстоянию между прямыми AA_{1}
и BC_{1}
, т. е. высоте равностороннего треугольника ABC
, проведённой из вершины A
и равной \frac{a\sqrt{3}}{2}
. Таким образом, радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около равнобедренного треугольника MNK
с основанием MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}
и высотой KE=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Далее находим:
KM=\sqrt{KE^{2}+ME^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{8}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{8}},
\sin\angle KNM=\sin\angle KMN=\frac{KE}{KM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{8}}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}.
Следовательно,
R=\frac{KM}{2\sin\angle KNM}=\frac{\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{8}}}{\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}}=\frac{7a\sqrt{3}}{24}.