7518. На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найдите радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.
Ответ. 1-\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Указание. Рассмотрите сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр и центры двух данных окружностей, а также сечение, проходящее через центры сферы, одной из данных окружностей и искомой окружности.
Решение. Пусть O
— центр сферы (рис. 1); O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры трёх данных окружностей, расположенных на сфере; Q
— центр искомой окружности радиуса x
; A
— точка касания окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
.
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точку A
перпендикулярно общей касательной l
к окружностям с центрами O_{1}
и O_{2}
, проходящей через точку A
(рис. 2). Точки O
, O_{1}
и O_{2}
лежат в этой плоскости. Таким образом, мы имеем окружность радиуса 2 с центром O
и две её хорды AB
и AC
, середины которых — точки O_{1}
и O_{2}
соответственно, а так как AB
и AC
— диаметры данных окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
, то AB=AC=2
, поэтому AOB
и AOC
— равносторонние треугольники со стороной 2, значит,
O_{1}O_{2}=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3},~OO_{1}=OO_{2}=\sqrt{3}.
Аналогично,
O_{1}O_{3}=O_{2}O_{3}=\sqrt{3},~OO_{3}=\sqrt{3}.
Рассмотрим правильный тетраэдр OO_{1}O_{2}O_{3}
. Обозначим через \alpha
угол, который образует его высота с боковым ребром. Тогда
\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Заметим, что продолжение высоты тетраэдра, проведённой из вершины O
, проходит через точку Q
.
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точку D
перпендикулярно общей касательной m
к окружностям с центрами O_{1}
и Q
, проходящей через их точку касания D
(рис. 3). Точки O
, O_{1}
и Q
лежат в этой плоскости. Таким образом, мы имеем окружность радиуса 2 с центром O
и две её хорды DE
и DF
, середины которых — точки O_{1}
и Q
соответственно, а так как DE
и DF
— диаметры окружностей с центрами O_{1}
и Q
, то O_{1}D=1
и QD=x
. Кроме того
\angle DOO_{1}=30^{\circ},~\angle O_{1}OQ=\alpha,~\angle DOQ=\angle O_{1}OQ-\angle DOO_{1}=\alpha-30^{\circ}.
Следовательно,
x=QD=OD\sin\angle DOQ=2\sin(\alpha-30^{\circ})=2(\sin\alpha\cos30^{\circ}-\cos\alpha\sin30^{\circ})=
=2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{2}\right)=1-\sqrt{\frac{2}{3}}.