7531. Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен 60^{\circ}
. Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.
Ответ. 2\arctg\frac{\sqrt{2}}{2}=2\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}=\arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть плоскости оснований конусов пересекают перпендикуляр к общей касательной плоскости, проходящей через общую образующую PK
конусов с общей вершиной K
, в точках Q
и Q_{1}
(рис. 1). Из точки Q
проведём касательные к окружности основания первого конуса. Пусть они пересекают общую касательную плоскость в точках A
и B
. Тогда касательные к окружности основания второго конуса, проведённые из точки Q_{1}
, пересекают общую касательную плоскость в тех же точках.
Рассмотрим две треугольные пирамиды ABPQ
и ABPQ_{1}
с общим основанием ABP
(«каркасы» конусов). Заметим, что искомый угол — это двугранный угол между плоскостями AQQ_{1}
и BQQ_{1}
, а APB
— его линейный угол.
Пусть O
— центр основания первого конуса, r
— радиус основания конуса, M
— точка касания окружности основания с отрезком AQ
(рис. 2). Тогда
KP=2OK=2r,~PQ=KP\sqrt{3}=2r\sqrt{3}.
В прямоугольном треугольнике APQ
(рис. 3) известно, что PM=PK=2r
, QP=2r\sqrt{3}
. Обозначим \angle AQP=\varphi
. Тогда
\sin\varphi=\frac{PM}{PQ}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~\tg\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}},~AP=PQ\tg\varphi=2r\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=r\sqrt{6}.
Если \gamma
— искомый угол, то
\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{KP}{AP}=\frac{2r}{r\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Тогда \sin\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}
. Следовательно,
\cos\gamma=\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-\sin^{2}\frac{\gamma}{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Примечание. См. статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.