7544. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(-2;0;3)
перпендикулярно плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1)
, P(-1;2;5)
и Q(3;-4;1)
.
Ответ. x=-2+4t
, y=6t
, z=3-5t
.
Указание. Точка N(x;y;z)
лежит на искомой прямой тогда и только тогда, когда вектор \overrightarrow{MN}
коллинеарен вектору, перпендикулярному плоскости APQ
.
Решение. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AP}
и \overrightarrow{AQ}
:
\overrightarrow{AP}=(-1-(-3);2-0;5-1)=(2;2;4),
\overrightarrow{AQ}=(3-(-3);-4-0;1-1)=(6;-4;0).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости APQ
. Тогда
\syst{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AQ}=0,\\}
или
\syst{2a+2b+4c=0\\6a-4b=0,\\}~~\Leftrightarrow~~\syst{a+b+2c=0\\3a-2b=0.\\}
Положим a=4
, b=6
. Тогда c=-\frac{1}{2}(a+b)=-5
.
Точка N(x;y;z)
лежит на искомой прямой тогда и только тогда, когда вектор \overrightarrow{MN}
коллинеарен вектору \overrightarrow{n}
, т. е. когда координаты этих векторов пропорциональны:
\syst{x+2=4t\\y=6t\\z=3-5t.\\}