7545. Найдите расстояние от точки D(1;3;2)
до плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1)
, B(2;1;-1)
и C(-2;2;0)
.
Ответ. \frac{10}{\sqrt{11}}
.
Указание. Если \rho
— расстояние от точки D(x_{0};y_{0};z_{0})
до плоскости, заданной уравнением ax+by+cz+d=0
, то
\rho=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Решение. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
:
\overrightarrow{AB}=(2-(-3);1-0;-1-1)=(5;1;-2),
\overrightarrow{AC}=(-2-(-3);2-0;0-1)=(1;2;-1).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный искомой плоскости. Тогда \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0
, или
\syst{5a+b-2c=0\\a+2b-c=0.\\}
Умножим обе части второго уравнение на -2 и результат сложим почленно с первым. Получим уравнение 3a-3b=0
. Положим a=b=1
. Тогда c=a+2b=3
.
Через точку A
проведём плоскость, перпендикулярную вектору \overrightarrow{n}=(1;1;3)
:
x+3+y+3(z-1)=0,~\mbox{или}~x+y+3z=0.
Пусть \rho
— расстояние от точки D(x_{0};y_{0};z_{0})
до плоскости, заданной уравнением ax+by+cz+d=0
. Тогда
\rho=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
В нашем случае
\rho=\frac{|1+3+6|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{11}}.