7548. Найдите угол между прямой пересечения плоскостей 2x-y-3z+5=0
и x+y-2=0
и плоскостью, проходящей через точки M(-2;0;3)
, N(0;2;2)
и K(3;-3;1)
.
Ответ. \arcsin\frac{22}{3\sqrt{102}}
.
Указание. Синус искомого угла равен модулю косинуса угла между направляющим вектором указанной прямой и вектором, перпендикулярным плоскости MNK
.
Решение. Сначала найдём направляющий вектор прямой пересечения данных плоскостей. Для этого положим x=t
и решим относительно y
и z
систему уравнений
\syst{y+3z=2t+5\\y=-t+2.\\}
Получим
x=t,~y=2-t,~z=1+t.
Значит, вектор \overrightarrow{m}=(1;-1;1)
параллелен прямой пересечения данных плоскостей.
Затем найдём вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки M(-2;0;3)
, N(0;2;2)
и K(3;-3;1)
.
Вычислим координаты векторов \overrightarrow{MN}
и \overrightarrow{MK}
:
\overrightarrow{MN}=(0-(-2);2-0;2-3)=(2;2;-1),
\overrightarrow{MK}=(3-(-2);-3-0;1-3)=(5;-3;-2).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный искомой плоскости. Тогда \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{MN}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{MK}=0
, или
\syst{2a+2b-c=0\\5a-3b-2c=0.\\}
Умножим обе части первого уравнение на -2 и результат сложим почленно со вторым. Получим уравнение a-7b=0
. Положим b=1
. Тогда a=7
, c=2a+2b=16
.
Пусть \varphi
— угол между векторами \overrightarrow{m}=(1;-1;1)
и \overrightarrow{n}=(7;1;16)
. Тогда (см. задачу 4900)
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{1\cdot7-1\cdot1+1\cdot16}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\cdot\sqrt{7^{2}+1^{2}+16^{2}}}=
=\frac{22}{\sqrt{3\cdot306}}=\frac{22}{3\sqrt{102}}.
Если \alpha
— угол указанной прямой с плоскостью MNK
, то
\sin\alpha=|\cos\varphi|=\frac{22}{3\sqrt{102}}.