7549. Составьте уравнение плоскости, содержащей прямую \frac{x-1}{2}=-\frac{y}{3}=3-z
и параллельную прямой пересечения плоскостей 4x+5z-3=0
и 2x+y+2z=0
.
Ответ. 2x-y+7z-23=0
.
Указание. Если \overrightarrow{m_{1}}
и \overrightarrow{m_{2}}
— направляющие векторы данных прямых, то координаты вектора \overrightarrow{n}
, перпендикулярного искомой плоскости, можно найти из системы уравнений
\syst{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m_{1}}=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m_{2}}=0.\\}
Решение. Вектор \overrightarrow{m_{1}}=(2;-3;-1)
— направляющий вектор первой прямой.
Положим x=t
и решим относительно y
и z
систему уравнений
\syst{5z=-4t+3\\y+2z=-2t.\\}
Получим
z=-\frac{4}{5}t+\frac{3}{5},~y=-2z-2t=\frac{8}{5}t-\frac{6}{5}-2t=-\frac{2}{5}t-\frac{6}{5}.
Значит, в качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей 4x+5z-3=0
и 2x+y+2z=0
можно взять вектор \overrightarrow{m_{2}}=(5;-4;-2)
.
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный каждой из двух данных прямых. Тогда
\syst{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m_{1}}=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m_{2}}=0,\\}
или
\syst{2a-3b-c=0\\5a-4b-2c=0.\\}
Умножим на -2 первое уравнение и почленно сложим его со вторым. Получим a+2b=0
. Положим b=-1
. Тогда a=2
, c=2a-3b=7
. Значит в качестве вектора, перпендикулярного искомой плоскости можно взять вектор \overrightarrow{n}=(2;-1;7)
.
Через произвольную точку прямой \frac{x-1}{2}=-\frac{y}{3}=3-z
, например, через точку P(1;0;3)
, проведём плоскость, перпендикулярную вектору \overrightarrow{n}=(2;-1;7)
:
2(x-1)-y+7(z-3)=0,~\mbox{или}~2x-y-7z-23=0.