7561. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})
перпендикулярно ненулевому вектору \overrightarrow{n}=(a;b;c)
.
Ответ. a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0
.
Решение. Точка M(x;y;z)
принадлежит искомой плоскости \alpha
тогда и только тогда, когда вектор \overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})
перпендикулярен вектору \overrightarrow{n}
. Значит,
M(x;y;z)\in\alpha~\Leftrightarrow~\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{M_{0}M}~\Leftrightarrow~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{M_{0}M}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Примечание. Верно и обратное: любое линейное уравнение Ax+By+Cz+D=0
(A^{2}+B^{2}+C^{2}\ne0)
задаёт некоторую плоскость, причём вектор \overrightarrow{n}=(A;B;C)
перпендикулярен этой плоскости.