7562. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Прямая l
проходит через точку M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})
параллельно ненулевому вектору \overrightarrow{m}=(a;b;c)
. Найдите необходимое и достаточное условие того, что точка M(x;y;z)
лежит на прямой l
.
Ответ. \syst{x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\\z=z_{0}+ct,\\}~~\mbox{или}~~\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}.
Решение. Точка M
лежит на прямой l
тогда и только тогда, когда вектор \overrightarrow{M_{0}M}
коллинеарен вектору \overrightarrow{m}
, значит,
M(x_{0};y_{0};z_{0})\in l~\Leftrightarrow~\overrightarrow{M_{0}M}=t\overrightarrow{m}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\syst{x-x_{0}=at\\y-y_{0}=bt\\z-z_{0}=ct\\}\Leftrightarrow~\syst{x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\\z=z_{0}+ct.\\}
Таким образом, получены параметрические уравнения прямой. Исключив t
из составленной системы трёх уравнений с четырьмя неизвестными, получим каноническое уравнение прямой:
\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}.