7566. Точка G
пересечения медиан тетраэдра ABCD
равноудалена от его вершин A
и B
. Докажите, что AC^{2}+AD^{2}=BC^{2}+BD^{2}
.
Указание. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер тетраэдра, проходит через точку пересечения его медиан.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Треугольник AGB
равнобедренный, так как по условию GA=GB
, поэтому его медиана GM
является высотой. Отрезок MN
проходит через точку G
(см. задачу 7125), поэтому MN
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
. Значит, AN=BN
.
По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
AN^{2}=\frac{1}{4}(2AD^{2}+2AC^{2}-CD^{2}),~BN^{2}=\frac{1}{4}(2BD^{2}+2BC^{2}-CD^{2}).
Из равенства
\frac{1}{4}(2AD^{2}+2AC^{2}-CD^{2})=\frac{1}{4}(2BD^{2}+2BC^{2}-CD^{2})
следует, что
AC^{2}+AD^{2}=BC^{2}+BD^{2}.
Что и требовалось доказать.