7573. Даны точки A(1;0;1)
, B(-2;2;1)
, C(2;0;3)
и D(0;4;-2)
. Найдите расстояние от точки D
до плоскости ABC
.
Ответ. \frac{13}{\sqrt{14}}
.
Указание. Вычислите координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
. Координаты вектора \overrightarrow{n}
, перпендикулярного векторам \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
, найдите из условий \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0
. Составьте уравнение плоскости ABC
и воспользуйтесь формулой расстояния от точки до плоскости.
Решение. Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
:
\overrightarrow{AB}=(-2-1;2-0;1-1)=(-3;2;0),
\overrightarrow{AC}=(2-1;0-0;3-1)=(1;0;2).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC
. Тогда \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0
и \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0
, или
\syst{-3a+2b=0\\a+2c=0.\\}
Положим c=-1
. Тогда a=2
, b=\frac{3}{2}a=3
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку A(1;0;1)
перпендикулярно вектору \overrightarrow{n}=(2;3;-1)
имеет вид
2(x-1)+3y-(z-1)=0,~\mbox{или}~2x+3y-z-1=0.
Пусть \rho
— расстояние от точки D(0;4;-2)
до плоскости ABC
. Тогда
\rho=\frac{|2\cdot0+3\cdot4+2-1|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}}=\frac{13}{\sqrt{14}}.