7610. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объём каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислите этот периметр.
Ответ. Параллелепипед, сторона основания которого равна 2, боковое ребро равно 1; искомый периметр равен 6.
Указание. Обозначьте через x
сторону основания параллелепипеда, выразите через x
периметр боковой грани параллелепипеда и найдите наименьшее значение полученной функции на соответствующем промежутке.
Решение. Обозначим через x
сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно \frac{4}{x^{2}}
Если P(x)
— периметр боковой грани параллелепипеда, то
P(x)=\frac{8}{x^{2}}+2x,
значит, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции P(x)=\frac{8}{x^{2}}+2x
на луче (0;+\infty)
.
Первый способ. Найдём критические точки функции P(x)=\frac{8}{x^{2}}+2x
на луче (0;+\infty)
.
P'(x)=-\frac{16}{x^{3}}+2=\frac{2(8-x^{3})}{x^{3}}=0.
Лучу (0;+\infty)
принадлежит единственный корень этого уравнения x=2
. На этом луче при x\lt2
производная функции P(x)
отрицательна, а при x\gt2
— положительна, поэтому на промежутке (0;2)
функция P(x)
убывает, а на промежутке (2;+\infty)
— возрастает. Значит, x=2
— точка минимума функции. Следовательно, P(2)=6
— наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда.
Второй способ. Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
P(x)=\frac{8}{x^{2}}+2x=\frac{8}{x^{2}}+x+x\geqslant3\sqrt[{3}]{{\frac{8}{x^{2}}\cdot x\cdot x}}=6,
причём равенство достигается, если \frac{8}{x^{2}}=x
, т. е. при x=2
. Следовательно, наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда равно 6.