7613. В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса r
, касающиеся основания пирамиды в точках, принадлежащих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и другого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.
Ответ. \frac{(5+\sqrt{17})r}{2}
.
Указание. Обозначьте через x
высоту пирамиды, выразите через x
объём пирамиды и найдите наименьшее значение полученной функции на соответствующем промежутке.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
(рис. 1); M
и N
— середины сторон соответственно AD
и BC
основания ABCD
. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, M
и N
, — равнобедренный треугольник PMN
, основание MN
которого равно стороне квадрата ABCD
(рис. 2). Окружности радиуса r
касаются высоты PQ
в одной и той же точке K
. Окружность с центром O_{1}
вписана в угол PMN
, а окружность с центром O_{2}
— в угол PNM
.
Пусть сторона квадрата ABCD
равна a
, высота пирамиды равна x
, а окружность с центром O_{1}
касается MN
в точке F
. Положим \angle PMN=\angle PNM=2\alpha
. Тогда \angle O_{1}MF=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников PMQ
и O_{1}MF
находим, что
\tg2\alpha=\frac{PQ}{MQ}=\frac{2x}{a},~\tg\alpha=\frac{O_{1}F}{MF}=\frac{r}{\frac{a}{2}-r}.
Применив формулу \tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}
, получим уравнение
\frac{2x}{a}=\frac{\frac{2r}{\frac{a}{2}-r}}{1-\left(\frac{r}{\frac{a}{2}-r}\right)^{2}},
откуда находим, что
a=\frac{4r(x-r)}{x-2r}.
Если V(x)
— объём пирамиды PABCD
, то
V(x)=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PQ=\frac{1}{3}a^{2}\cdot x=\frac{1}{3}\cdot\frac{16r^{2}x(x-r)^{2}}{(x-2r)^{2}}.
Поскольку x\gt2r
, задача сводится к нахождению на промежутке (2r;+\infty)
такого значения x
, для которого функция V(x)
принимает на этом промежутке наименьшее значение. Решив уравнение V'(x)=0
, найдём критические точки функции V(x)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (2r;+\infty)
.
V'(x)=\frac{16r^{2}}{3}\cdot\frac{(x-r)(x^{2}-5rx+2r^{2})}{x-2r}.
Промежутку (2r;+\infty)
принадлежит единственный корень этого уравнения x=\frac{r(5+\sqrt{17})}{2}
. При переходе через точку x=\frac{r(5+\sqrt{17})}{2}
производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке \left(2r;\frac{r(5+\sqrt{17})}{2}\right)
функция V(x)
убывает, а на промежутке \left(\frac{r(5+\sqrt{17})}{2};+\infty\right)
— возрастает. Следовательно, при x=\frac{r(5+\sqrt{17})}{2}
объём пирамиды PABCD
наименьший.