7620. Сторона основания ABCD
правильной пирамиды SABCD
равна a
, боковое ребро равно 2a
. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BD
основания и боковом ребре SC
, параллельные плоскости SAD
.
1) Один из этих отрезков проведён через точку M
диагонали BD
, для которой DM:DB=1:3
. Найдите его длину.
2) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
Ответ. 1) \frac{a\sqrt{15}}{3}
; 2) \frac{a\sqrt{10}}{4}
.
Решение. Через точку M
проведём плоскость, параллельную плоскости SAD
(рис. 1). Пусть секущая плоскость пересекает рёбра AB
, CD
, SC
, SB
данной пирамиды соответственно в точках P
, Q
, R
, T
. Тогда отрезок MR
параллелен плоскости SAD
, его концы лежат на прямых BD
и SC
, а четырёхугольник PQRT
— равнобедренная трапеция.
Пусть \frac{DM}{DB}=\frac{1}{3}
. Тогда
\frac{DQ}{DC}=\frac{AP}{AB}=\frac{DM}{DB}=\frac{1}{3},
поэтому
\frac{CQ}{CD}=\frac{BP}{AB}=\frac{2}{3},~\frac{RT}{BC}=\frac{ST}{SB}=\frac{AP}{AB}=\frac{1}{3},
значит,
QR=PT=\frac{2}{3}AS=\frac{4}{3}a,~RT=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}a.
Пусть RF
— высота равнобедренной трапеции PQRT
. Тогда
FQ=\frac{1}{2}(PQ-RT)=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{3}a\right)=\frac{1}{3}a,
а так как MQ=\frac{1}{3}PQ=\frac{1}{3}a
, то в этом случае точка F
совпадает с точкой M
. Следовательно,
RM=\sqrt{QR^{2}-QM^{2}}=\sqrt{\frac{16a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}.
Пусть теперь точка M
перемещается по отрезку BD
. Для каждого её положения строим плоскость PQRT
, параллельную плоскости SAD
. Обозначим \frac{DM}{DB}=x
(0\leqslant x\leqslant1)
. Указанным выше способом находим (рис. 2), что
QR=PT=2a(1-x),~RT=ax,~MQ=ax.
Тогда
QF=\frac{1}{2}(PQ-RT)=\frac{1}{2}(a-ax)=\frac{1}{2}a(1-x),
RF^{2}=QR^{2}-QF^{2}=4a^{2}(1-x)^{2}-\frac{1}{4}a^{2}(1-x)^{2}=\frac{15a^{2}(1-x)^{2}}{4},
MF=MQ-QF=ax-\frac{1}{2}a(1-x)=\frac{1}{2}a(3x-1),
MR^{2}=MF^{2}+RF^{2}=\frac{1}{4}a^{2}(3x-1)^{2}+\frac{15}{4}a^{2}(1-x)^{2}=
=\frac{1}{4}a^{2}((3x-1)^{2}+15(1-x)^{2})=
=\frac{1}{4}a^{2}(24x^{2}-36x+16)=a^{2}(6x^{2}-9x+4)=
=a^{2}\left(6\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{5}{8}\right)\geqslant\frac{5}{8}a^{2},
причём равенство достигается, если x=\frac{3}{4}
. Следовательно, наименьшее значение длины отрезка MR
равно a\sqrt{\frac{5}{8}}
.