7657. Двугранный угол при основании правильной n
-угольной пирамиды равен \beta
. Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями.
Ответ. 2\arccos\left(\sin\beta\sin\frac{180^{\circ}}{n}\right)
.
Решение. Пусть сторона основания A_{1}A_{2}\dots A_{n}
правильной пирамиды PA_{1}A_{2}\dots A_{n}
с вершиной P
равна a
, высота PO
пирамиды равна h
, площадь боковой грани равна S
, а искомый угол между соседними боковыми гранями равен \gamma
.
Опустим перпендикуляр A_{1}M
из вершины A_{1}
на прямую OA_{2}
. Тогда A_{1}M
— перпендикуляр к плоскости A_{2}OP
. Так как A_{2}OP
— биссекторная плоскость двугранного угла между боковыми гранями A_{1}PA_{2}
и A_{2}PA_{3}
, то угол между плоскостями A_{1}PA_{2}
и A_{2}OP
равен \frac{\gamma}{2}
.
Если S'
— площадь ортогональной проекции боковой грани A_{1}PA_{2}
на плоскость A_{2}OP
, то S'=S\cos\frac{\gamma}{2}
. С другой стороны, если L
— середина A_{1}A_{2}
, то
PL=\frac{2S}{A_{1}A_{2}}=\frac{2S}{a},~OP=PL\sin\beta=\frac{2S\sin\beta}{a},
\angle A_{1}A_{2}M=\frac{1}{2}\cdot\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=90^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{n},
\angle MA_{1}A_{2}=90^{\circ}-\angle A_{1}A_{2}M=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{n}\right)=\frac{180^{\circ}}{n},
A_{2}M=A_{1}A_{2}\sin\angle MA_{1}A_{2}=a\sin\frac{180^{\circ}}{n}.
Поэтому
S'=S_{\triangle A_{2}MP}=\frac{1}{2}A_{2}M\cdot OP=\frac{1}{2}a\sin\frac{180^{\circ}}{n}\cdot\frac{2S\sin\beta}{a}=S\sin\frac{180^{\circ}}{n}\sin\beta.
Поэтому
S\cos\frac{\gamma}{2}=S\sin\frac{180^{\circ}}{n}\sin\beta.
Следовательно,
\cos\frac{\gamma}{2}=\sin\beta\sin\frac{180^{\circ}}{n}.