7665. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите косинус угла между прямыми AB
и CA_{1}
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. Поскольку AB\parallel CD
, угол между скрещивающимися прямыми AB
и CA_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми CD
и CA_{1}
, т. е. углу DCA_{1}
.
Прямая CD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD
и DD_{1}
плоскости AA_{1}D_{1}D
, значит, прямая CD
перпендикулярна этой плоскости. Поэтому треугольник CDA_{1}
— прямоугольный.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда CA_{1}=a\sqrt{3}
. Из прямоугольного треугольника CDA_{1}
находим, что
\cos\angle DCA_{1}=\frac{CD}{CA_{1}}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.