7672. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите угол между прямой AC
и плоскостью BCD_{1}
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения диагоналей квадрата AA_{1}B_{1}B
. Прямая BC
перпендикулярна плоскости AA_{1}B_{1}B
, содержащей прямую AH
, поэтому AH\perp BC
, а так как AH\perp BA_{1}
, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AH
— перпендикуляр к плоскости BCD_{1}A_{1}
. Тогда CH
— ортогональная проекция на плоскость BCD_{1}A_{1}
наклонной AC
. Следовательно, угол между прямой AC
и плоскостью BCD_{1}A_{1}
— это угол ACH
.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда AC=a\sqrt{2}
, а AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. В прямоугольном треугольника ACH
катет AH
вдвое меньше гипотенузы AC
, значит, \angle ACH=30^{\circ}
.