7673. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите тангенс угла между плоскостями ABC
и CB_{1}D_{1}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Плоскость ABCD
параллельна плоскости A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, поэтому угол между плоскостями ABCD
и CB_{1}D_{1}
равен углу между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и CB_{1}D_{1}
.
Пусть M
— точка пересечения диагоналей квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда C_{1}M\perp B_{1}D_{1}
и CM\perp B_{1}D_{1}
(как медиана равнобедренного треугольника CB_{1}D_{1}
). Следовательно, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и CB_{1}D_{1}
, — это угол CMC_{1}
.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда C_{1}M=\frac{a\sqrt{2}}{2}
и CC_{1}=a
. Из прямоугольного треугольника CC_{1}M
находим, что
\tg\angle CMC_{1}=\frac{CC_{1}}{C_{1}M}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}.
