7681. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите расстояние между прямыми AB_{1}
и BD_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{6}
.
Решение. Известно, что диагональ BD_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости AB_{1}C
, содержащей прямую AB_{1}
, и проходит через центр P
равностороннего треугольника AB_{1}C
. Высота CQ
этого треугольника проходит через точку P
и делится ею в отношении 2:1
, считая от точки C
. Поскольку PQ\perp BD_{1}
и PQ\perp AB_{1}
, отрезок PQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB_{1}
и BD_{1}
, а так как CP:PQ=2:1
, то
PQ=\frac{1}{3}CQ=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB_{1}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}.