7684. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите расстояние от точки B
до прямой AC_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{3}
.
Решение. Прямая AB
перпендикулярна плоскости BCC_{1}B_{1}
, поэтому AB\perp BC_{1}
, значит, треугольник ABC_{1}
— прямоугольный. Расстояние от точки B
до прямой AC_{1}
равно высоте BH
треугольника ABC_{1}
со сторонами AB=1
, BC_{1}=\sqrt{2}
, AC_{1}=\sqrt{3}
.
Записав двумя способами площадь треугольника ABC_{1}
, получим равенство \frac{1}{2}AC_{1}\cdot BH=\frac{1}{2}AB\cdot BC_{1}
, из которого находим, что
BH=\frac{AB\cdot BC_{1}}{AC_{1}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.