7686. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите косинус угла между прямыми DM
и BD_{1}
, где M
— середина ребра AA_{1}
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{15}}
.
Решение. Пусть O
— центр грани ABCD
, K
— середина ребра DD_{1}
. Тогда DM\parallel KA_{1}
и OK\parallel BD_{1}
как средняя линия треугольника BDD_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми DM
и BD_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми KA_{1}
и OK
, т. е. углу OKA_{1}
.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда
OK=\frac{1}{2}BD_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2},~KA_{1}=DM=\sqrt{AD^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
OA_{1}=\sqrt{OA^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+a^{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}.
Следовательно,
\cos\angle OKA_{1}=\frac{OK^{2}+KA_{1}^{2}-OA_{1}^{2}}{2OK\cdot KA_{1}}=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{5}{4}a^{2}-\frac{3}{2}a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{15}}.